計算機組織與結構

一個筆記性質的文章，想到什麼寫什麼。

• 數值(Numeric)
• 數碼(Code) 如：ASCII,Big-5,UTF-8

什麼是UTF-8？與Unicode的差別？

• Unicode 是字符集；UTF-8 是編碼。
• UTF-8是為了解決向下相容ASCII碼而設計的。
• Unicode中前128個字元與ASCII碼一一對應。
• ASCII是UTF-8的子集。

延伸閱讀：Unicode 与 UTF8,16,32什么意思以及之间的联系

計算機的基本儲存單位是「位元(bit)」，通過開關變化設置表達值0或1。在有兩個位元的情況下可以得到四個不同的狀態：

00 01 10 11

如果有三個位，則有八種狀態：

000 001 010 011 100 101 110 111

每當增加一個位時，將得到兩倍的狀態。

電腦常以8個位元為存取單位，因此8個位元稱為「位元組(byte)」。

計算機常用單位

延伸閱讀：二、八、十與十六進位 (數字系統) 轉換教學

在計算機世界中 A-B = A+(-B)

那你可能會好奇，減法直接減就好了，為什麼要用加法計算減法？

那是因為加法需要「加法器」，那麼減法也就需要「減法器」。

　　對於早期的機械計算設備而言，加法器是依靠「齒輪」等機械器件實現的。如果人們強行實現減法器，則需要在同一台設備中增加更多齒輪、軸承、連杆等機械器件，導致設備體積增大、成本上升、故障率升高，這是不划算的。

　　類似的，對於現代數字電子計算機（各種電腦）來說，雖然其體積遠比當年的機械計算機小，但增加一個「減法器」，將要求工程師在晶片上增加更多電晶體以及相關電路，這會增大晶片面積、功耗和一系列開銷，導致晶片成本升高。

因此，為了降低不必要的成本，工程師和科學家想了一招：

能否將加法和減法都統一於「加法」？

這樣一來，只需一台擁有「加法」功能的機器，就可以既算加法，也能算減法。

這就是人們在計算機底層使用補碼的原因。

有號數表示法

而常見的有符號數表示法有以下幾種：

sign & magnitude(S&m)

　　分配一個符號位（sign bit）來表示這個符號：設定這個位（通常為最高有效位）為0表示一個正數，為1表示一個負數。

　　數字中的其它位指示數值（或者絕對值）。因此一個位元組只有7位（除去符號位），數值的範圍從0000000（0）到1111111（127）。這樣當你增加一個符號位（第八位）後，可以表示從−127(10)到+127(10)的數字。

　　這種表示法導致的結果就是可以有兩種方式表示零，00000000（0）與10000000（−0），這大大增加數位電路的複雜性和設計難度。CPU亦須執行兩次比較，來測試運算結果是否為零。

Ones’ complement

　　一個負數的二進位數一補數形式為其絕對值部分按位元取反（即符號位不變，其餘各位按位元取反）。同原碼表示一樣，0的一補數表示形式也有兩種：00000000（+0）與11111111（−0）。

　　舉例來說，原碼10101011（-43）的一補數形式為11010100（−43）。有符號數用一補數表示的範圍為−(2^(N−1)−1)到(2^(N−1)−1)，以及+/−0。一個慣常的八位的位元組便是（可表示）−127(10)到+127(10)，以及00000000（+0）或者11111111（−0）。

溢位需做端迴進位。

       二進位    十進位
    11111110     -1
 +  00000010     +2
 ..........................
  1 00000000      0   <-- 錯誤答案
           1     +1   <-- 加上進位
 ..........................
    00000001      1   <-- 正確答案

Two’s complement

迴避了0有多種表示的問題以及迴圈進位的需要(溢位不需要做端迴進位)。

在二補數表示中，負數以位元型樣表示為正值的一補數加1（當作無符號數）。

在二補數表示中，只有一個0（00000000）。求一個數的二補數（無論是負數還是正數）需要反轉所有位，然後加1。

可藉由最後一bit是否為1判斷是否為奇數。

下表列出了 4-bit 二進數所能表示的整數：

• 無符號（unsigned）可表示0到15
• 符號及值（sign & magnitude）可表示-7到+7，包括-0
• 一補數（ones’ complement）可表示-7到+7，包括-0
• 二補數（two’s complement）可表示-8到+7，沒有±0的問題

延伸閱讀：ASCII

浮點數表示法

實數(Real)

　包含整數部分和小數部分的數值，例如23.7是一個實數，整數部分為23，小數部分是0.7。位數不足會造成精確度及正確度誤差。

　　在浮點數表示法中，一個數值是由三個欄位組成：「符號」非正即負；「位移量」顯示小數點應從實際數值往左或右移多少單位(指數形式)；「定點數」小數點位置是固定的。

科學記號(Scientific Notation)

浮點數表示法的一種。

正規化(Normalization)

將數值轉為小數點左方僅有一個非零數字。

* 十進位科學記號：

± d.xxxxxxxx (d = 1 ~ 9, x = 0 ~ 9)

* 二進位浮點數：

± 1.yyyyyyyy (y = 0, 1)

符號、指數和尾數

* 二進位浮點數儲存 3 項資訊：符號、指數、和尾數

* 例如：+1000111.0101 → +1.0001110101×26 → 儲存：符號(+)、指數(6)、及尾數(0001110101)

* 符號：使用一個位元(0, 1)表示

* 指數：使用超碼表示法(Excess)

* 尾數：使用定點數表示法

超碼系統(Excess system)

* 將整數加一個偏移值(Bias)：2^(m–1) –1 (m 為儲存指數的記憶體大小)

→ 正負整數均轉為正整數

# 例如：

– m = 8 (偏移=127)：超 127 系統(Excess_127 system)

– m = 11 (偏移=1023)：超 1023 系統(Excess_1023 system)

* 表示程序：

# 將指數加上偏移值

# 將結果轉為二進位，若位元<m，左邊補 0 直到位元=m

* 例如，以 Excess_127 系統表示–25(10)：

　→ –25 + 127 = 102 → 110 0110 → 0110 0110

* 為何使用超碼系統來表示指數？

# 將兩個浮點數相加或相減時，指數僅用於比較大小(不需相加或相減)

　→ 不需要使用 2 補數

# 超碼系統都是正數

　→ 比較大小較為快速(不需考慮正負數)

IEEE 754標準

單倍精準數
• 符號位元：1個位元，以0表示正數；以1表示負數
• 指數部分：8個位元，以超127（Excess 127）方式表示
• 尾數部分：23個位元，從標準化的小數點後開始存起，不夠的位元部份補0

　　給定一實數10110.100011，先轉換成1.0110100011*2^4，因為是正數，所以符號位元為0，其尾數部分為小數點後0110100011，指數部分為4，以超127方式儲存，因此將指數部分加上127 = 4+127 = 131，再將131轉為二進位得10000011。
因此10110.100011按IEEE-754標準儲存為：
0 10000011 01101000110000000000000

　　也可以透過轉換後的推回原來的數值，例如0 10000101 00101000110000000000000所儲存的數值為多少？
首先，位元符號為0，所以是正數，指數部分為10000101換成十進位為133，133-127=6，因此0 10000101 00101000110000000000000所儲存的數值為1.0010100011*2^6 也就是1001010.0011

單精度與倍精度的差別

為了讓誤差更小，IEEE 754 也定義了如何用 64 bit 來表示浮點數，跟 32 bit 比起來 fraction 部分大了超過兩倍，從 23 bit 變成 52 bit，所以精準度自然提高許多

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